Elementarmathematik Beispiele

$\sin (3 x - \frac{π}{4}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x - \frac{π}{4} = \arcsin (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Schritt 3.5.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$3 x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$