Elementarmathematik Beispiele

\sin (9 x) = 1

$\sin (9 x) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

9 x = \arcsin (1)

$9 x = \arcsin (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ ist

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ durch

9

$9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ durch

9

$9$ .

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

9

$9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ mit

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ .

x = \frac{π}{2 \cdot 9}

$x = \frac{π}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

9

$9$ .

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

9 x = π - \frac{π}{2}

$9 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

π

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

9 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$9 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere

π

$π$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

9 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

9 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$9 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere

π

$π$ von

π \cdot 2

$π \cdot 2$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle

π

$π$ und

2

$2$ um.

9 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$9 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 5.1.4.2

Subtrahiere

π

$π$ von

2 \cdot π

$2 \cdot π$ .

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ durch

9

$9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ durch

9

$9$ .

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

9

$9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ mit

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ .

x = \frac{π}{2 \cdot 9}

$x = \frac{π}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

9

$9$ .

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von

\sin (9 x)

$\sin (9 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze

b

$b$ durch

9

$9$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 9 |}

$\frac{2 π}{| 9 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

9

$9$ ist

9

$9$ .

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion

\sin (9 x)

$\sin (9 x)$ ist

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$ , d. h., Werte werden sich alle

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{9}

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{9}$ , für jede ganze Zahl

n

$n$