Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{y - 15} + \sqrt{y} = 15$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y - 15} = 15 - \sqrt{y}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y - 15}}^{2} = {(15 - \sqrt{y})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 15}$ als ${(y - 15)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - \sqrt{y})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(y - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - \sqrt{y})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - \sqrt{y})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 15)}^{1} = {(15 - \sqrt{y})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$y - 15 = {(15 - \sqrt{y})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(15 - \sqrt{y})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(15 - \sqrt{y})}^{2}$ als $(15 - \sqrt{y}) (15 - \sqrt{y})$ um.

$y - 15 = (15 - \sqrt{y}) (15 - \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(15 - \sqrt{y}) (15 - \sqrt{y})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 15 = 15 (15 - \sqrt{y}) - \sqrt{y} (15 - \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 15 = 15 \cdot 15 + 15 (- \sqrt{y}) - \sqrt{y} (15 - \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 15 = 15 \cdot 15 + 15 (- \sqrt{y}) - \sqrt{y} \cdot 15 - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$y - 15 = 225 + 15 (- \sqrt{y}) - \sqrt{y} \cdot 15 - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - \sqrt{y} \cdot 15 - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} - \sqrt{y} (- \sqrt{y})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{y} (- \sqrt{y})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + 1 \sqrt{y} \sqrt{y}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{y}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + {\sqrt{y}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + y^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + y^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + y^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + y^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$y - 15 = 225 - 15 \sqrt{y} - 15 \sqrt{y} + y$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $15 \sqrt{y}$ von $- 15 \sqrt{y}$ .

$y - 15 = 225 - 30 \sqrt{y} + y$

Schritt 4

Löse nach $- 30 \sqrt{y}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $225 - 30 \sqrt{y} + y = y - 15$ um.

$225 - 30 \sqrt{y} + y = y - 15$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 30 \sqrt{y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $225$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 30 \sqrt{y} + y = y - 15 - 225$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 30 \sqrt{y} = y - 15 - 225 - y$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y - 15 - 225 - y$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$- 30 \sqrt{y} = 0 - 15 - 225$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $15$ von $0$ .

$- 30 \sqrt{y} = - 15 - 225$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $225$ von $- 15$ .

$- 30 \sqrt{y} = - 240$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 30 \sqrt{y})}^{2} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 30 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 30 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 30 y^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 30)}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$900 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$900 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$900 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$900 y^{1} = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$900 y = {(- 240)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $- 240$ mit $2$ .

$900 y = 57600$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $900 y = 57600$ durch $900$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $900 y = 57600$ durch $900$ .

$\frac{900 y}{900} = \frac{57600}{900}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $900$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{900 y}{900} = \frac{57600}{900}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{57600}{900}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $57600$ durch $900$ .

$y = 64$