Elementarmathematik Beispiele

$\log_{y} (81) = - 4$

Schritt 1

Schreibe $\log_{y} (81) = - 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$y^{- 4} = 81$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} = 81$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{4}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{4}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{4}} = 81$ mit $y^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{4}} = 81$ mit $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 81 y^{4}$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $81 y^{4} = 1$ um.

$81 y^{4} = 1$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $81 y^{4} = 1$ durch $81$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $81 y^{4} = 1$ durch $81$ .

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{4}$ durch $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Schritt 2.4.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{81}}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.4.3.1

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3^{4}}}$

Schritt 2.4.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{y} (81) = - 4$ nicht erfüllen.

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$y = 0.\overline{3}$