Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x) + \log_{5} (y) = \log_{5} (3) + 1$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x y) = \log_{5} (3) + 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{5} (x y) - \log_{5} (3) = 1$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x y}{3}) = 1$

Schritt 4

Schreibe $\log_{5} (\frac{x y}{3}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{x y}{3}$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x y}{3} = 5^{1}$ um.

$\frac{x y}{3} = 5$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x y}{3} = 3 \cdot 5^{1}$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x y}{3} = 3 \cdot 5^{1}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x y = 3 \cdot 5^{1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $3 \cdot 5^{1}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Berechne den Exponenten.

$x y = 3 \cdot 5$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x y = 15$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x y = 15$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 15$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{15}{x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{15}{x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{15}{x}$