Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\log_{3} (16)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{1}{3} \log_{3} (64)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\log_{3} (64)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ mit $12$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ mit $12$ .

$\log_{3} (y) \cdot 12 = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $\log_{3} (y)$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 (3)) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 \cdot 3) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$12 \log_{3} (y) = \log_{3} (16) \cdot 3 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log_{3} (16)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \cdot \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 (4))$

Schritt 2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 4)$

Schritt 2.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \log_{3} (64) \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\log_{3} (64)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $12 \log_{3} (y)$ , indem du $12$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (y^{12}) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{3} (16)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (16^{3}) + 4 \log_{3} (64)$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + 4 \log_{3} (64)$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $4 \log_{3} (64)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (64^{4})$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $64$ mit $4$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (16777216)$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096 \cdot 16777216)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $4096$ mit $16777216$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (68719476736)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$y^{12} = 68719476736$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[12]{68719476736}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[12]{68719476736}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $68719476736$ als $8^{12}$ um.

$y = \pm \sqrt[12]{8^{12}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 8$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 8$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 8$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 8, - 8$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$ nicht erfüllen.

$y = 8$