Elementarmathematik Beispiele

$x - 9 \sqrt{x} + 20 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $- 9 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 \sqrt{x} + 20 = - x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 \sqrt{x} = - x - 20$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 9 \sqrt{x})}^{2} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 9 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 9 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 9)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$81 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$81 x^{1} = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$81 x = {(- x - 20)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- x - 20)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- x - 20)}^{2}$ als $(- x - 20) (- x - 20)$ um.

$81 x = (- x - 20) (- x - 20)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- x - 20) (- x - 20)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$81 x = - x (- x - 20) - 20 (- x - 20)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$81 x = - x (- x) - x \cdot - 20 - 20 (- x - 20)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$81 x = - x (- x) - x \cdot - 20 - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$81 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 20 - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$81 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 20 - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$81 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 20 - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$81 x = 1 x^{2} - x \cdot - 20 - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$81 x = x^{2} - x \cdot - 20 - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$81 x = x^{2} + 20 x - 20 (- x) - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$81 x = x^{2} + 20 x + 20 x - 20 \cdot - 20$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 20$ .

$81 x = x^{2} + 20 x + 20 x + 400$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $20 x$ und $20 x$ .

$81 x = x^{2} + 40 x + 400$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 40 x + 400 = 81 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $81 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 40 x + 400 - 81 x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $81 x$ von $40 x$ .

$x^{2} - 41 x + 400 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x^{2} - 41 x + 400$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $400$ und deren Summe $- 41$ ist.

$- 25, - 16$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 25) (x - 16) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 25 = 0$

$x - 16 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 25$ gleich $0$ .

$x - 25 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 25$

Schritt 4.6

Setze $x - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 16$ gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 25) (x - 16) = 0$ wahr machen.

$x = 25, 16$