Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{10^{x} + 10^{- x}}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{10^{x} + 10^{- x}}{2} = y$ um.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{2} = y$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10^{x} + 10^{- x} = y \cdot 2$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$10^{x} + 10^{- x} = 2 y$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe $10^{- x}$ als Potenz um.

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 2 y$

Schritt 4.2

Ersetze $10^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Schritt 4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Schritt 4.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 2 y$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 2 y$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Schritt 4.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.3.1

Subtrahiere $2 y u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Schritt 4.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 y$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.3.4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 y$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.4.3.4.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ heraus.

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Schritt 4.4.3.4.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 \cdot 1$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.4.3.4.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y - 2$ heraus.

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Schritt 4.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (- 1)$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6

Schreibe $4 (- y + 1) (- y - 1)$ als $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ um.

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Schritt 4.4.3.4.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Schritt 4.4.3.4.3

Vereinfache $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.5

Setze $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ für $u$ in $u = 10^{x}$ ein.

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = 10^{x}$

Schritt 4.6

Löse $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = 10^{x}$ .

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Schritt 4.6.1

Schreibe die Gleichung als $10^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ um.

$10^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.6.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.6.3.1

Zerlege $\log (10^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \log (10) = \log (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.6.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \log (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \log (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.7

Setze $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ für $u$ in $u = 10^{x}$ ein.

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = 10^{x}$

Schritt 4.8

Löse $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = 10^{x}$ .

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Schritt 4.8.1

Schreibe die Gleichung als $10^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ um.

$10^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.8.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.8.3.1

Zerlege $\log (10^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \log (10) = \log (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.8.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \log (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \log (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \log (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \log (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \log (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \log (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$