Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ um.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Schritt 4.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Schritt 4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Schritt 4.4

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 2 y$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 2 y$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Schritt 4.4.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Subtrahiere $2 y u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Schritt 4.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 y$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 y$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 \cdot 1$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y - 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (- 1)$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6

Schreibe $4 (- y + 1) (- y - 1)$ als $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.4.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Schritt 4.4.3.4.3

Vereinfache $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.5

Setze $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Schritt 4.6

Löse $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ um.

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.7

Setze $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Schritt 4.8

Löse $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ um.

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Schritt 4.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.8.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Schritt 4.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$