Elementarmathematik Beispiele

${(y^{2} + 4 y)}^{2} + 7 (y^{2} + 4 y) + 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = y^{2} + 4 y$ . Ersetze $u$ für alle $y^{2} + 4 y$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + 7 u + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2} + 4 y$ .

$(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Schritt 3

Setze $y^{2} + 4 y + 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $y^{2} + 4 y + 3$ gleich $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y^{2} + 4 y + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y + 1) (y + 3) = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Schritt 3.2.3

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 3.2.4

Setze $y + 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Setze $y + 3$ gleich $0$ .

$y + 3 = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 1) (y + 3) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, - 3$

Schritt 4

Setze $y^{2} + 4 y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $y^{2} + 4 y + 4$ gleich $0$ .

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y^{2} + 4 y + 2^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 2$ .

${(y + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze $y + 2$ gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, - 3, - 2$