Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 6 x^{2} - 27$ gleich $0$ .

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $u^{2} + 6 u - 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 27$ und deren Summe $6$ ist.

$- 3, 9$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 9) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

Schritt 2.4

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 2.5

Setze $u + 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u + 9$ gleich $0$ .

$u + 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 9$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u + 9) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$u = 3$ (Vielfachheit von $1$ )

$u = - 9$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.9.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.9.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.9.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.9.3

Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftaucht. Beispiel: ein Faktor ${(x + 5)}^{3}$ hätte eine Wurzel bei $x = - 5$ mit einer Multiplizität von $3$ .

$x = \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.11.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.11.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.11.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.11.5

Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftaucht. Beispiel: ein Faktor ${(x + 5)}^{3}$ hätte eine Wurzel bei $x = - 5$ mit einer Multiplizität von $3$ .

$x = 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 2.12

Die Lösung von $x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ ist $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

Schritt 3