Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} - 25 x^{3}$

Schritt 1

Setze $x^{5} - 25 x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{5} - 25 x^{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - 25 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 25 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $3$ )

$x = - 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $3$ )

$x = - 5$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 5$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3