Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x$

Schritt 1

Setze $\sqrt{2 x - 3} + 3 - x$ gleich $0$ .

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{2 x - 3}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x - 3} - x = - 3$

Schritt 2.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x - 3} = - 3 + x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x - 3}}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 3}$ als ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 3)}^{1} = {(- 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x - 3 = {(- 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache ${(- 3 + x)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Schreibe ${(- 3 + x)}^{2}$ als $(- 3 + x) (- 3 + x)$ um.

$2 x - 3 = (- 3 + x) (- 3 + x)$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $(- 3 + x) (- 3 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 = - 3 (- 3 + x) + x (- 3 + x)$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x (- 3 + x)$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

Schritt 2.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$2 x - 3 = 9 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

Schritt 2.3.3.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 \cdot x + x \cdot x$

Schritt 2.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$2 x - 3 = 9 - 6 x + x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 - 6 x + x^{2} = 2 x - 3$

Schritt 2.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 6 x + x^{2} - 2 x = - 3$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 6 x$ .

$9 + x^{2} - 8 x = - 3$

Schritt 2.4.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 + x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $9$ und $3$ .

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 2.4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Schritt 2.4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4.7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.4.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x - 2) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 6$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 6$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 2.5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$ nicht erfüllen.

$x = 6$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3