Elementarmathematik Beispiele

$y = \sec (2 x + π)$

Schritt 1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (2 x + π)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \sec (2 x + π)$ auftritt.

$2 x + π = - \frac{π}{2}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{π}{2} - π$

Schritt 2.1.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{- π - 2 π}{2}$

Schritt 2.1.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $- π$ .

$2 x = \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x = - \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $- \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 π}{2}$ .

$x = - \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = - \frac{3 π}{4}$

Schritt 3

Setze das Innere der Sekansfunktion $2 x + π$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$2 x + π = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{3 π}{2} - π$

Schritt 4.1.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $3 π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = \sec (2 x + π)$ tritt auf bei $(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$ , wobei $- \frac{3 π}{4}$ und $\frac{π}{4}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$

Schritt 6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (2 x + π)$ treten auf bei $- \frac{3 π}{4}$ , $\frac{π}{4}$ und jedem $x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$

Schritt 8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9