Elementarmathematik Beispiele

$y = 3 \sec (2 π x)$

Schritt 1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \sec (2 π x)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 3 \sec (2 π x)$ auftritt.

$2 π x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = - \frac{π}{2}$ durch $2 π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = - \frac{π}{2}$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Schritt 2.3.2.3

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze das Innere der Sekansfunktion $2 π x$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$2 π x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = \frac{3 π}{2}$ durch $2 π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = \frac{3 π}{2}$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = 3 \sec (2 π x)$ tritt auf bei $(- \frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ , wobei $- \frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{1}{4}, \frac{3}{4})$

Schritt 6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

$2 π$ ist ungefähr $6.2831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{π}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{π}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \sec (2 π x)$ treten auf bei $- \frac{1}{4}$ , $\frac{3}{4}$ und jedem $\frac{n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{3}{4} + \frac{n}{2}$

Schritt 8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3}{4} + \frac{n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9