Elementarmathematik Beispiele

y = \csc (- \frac{1}{2} x)

$y = \csc (- \frac{1}{2} x)$

Schritt 1

Vereinfache

\csc (- \frac{1}{2} x)

$\csc (- \frac{1}{2} x)$ .

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Schritt 1.1

Kombiniere

x

$x$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

y = \csc (- \frac{x}{2})

$y = \csc (- \frac{x}{2})$

Schritt 1.2

\csc (- \frac{x}{2})

$\csc (- \frac{x}{2})$ eine ungerade Funktion ist, schreibe

\csc (- \frac{x}{2})

$\csc (- \frac{x}{2})$ als

- \csc (\frac{x}{2})

$- \csc (\frac{x}{2})$ .

y = - \csc (\frac{x}{2})

$y = - \csc (\frac{x}{2})$

y = - \csc (\frac{x}{2})

$y = - \csc (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Für jedes

y = \csc (x)

$y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei

x = n π

$x = n π$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für

y = c s c (x)

$y = c s c (x)$ ,

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für

y = - \csc (\frac{x}{2})

$y = - \csc (\frac{x}{2})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion,

b x + c

$b x + c$ , für

y = a \csc (b x + c) + d

$y = a \csc (b x + c) + d$ gleich

0

$0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für

y = - \csc (\frac{x}{2})

$y = - \csc (\frac{x}{2})$ auftreten.

\frac{x}{2} = 0

$\frac{x}{2} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

x = 0

$x = 0$

Schritt 4

Setze das Innere der Kosekansfunktion

\frac{x}{2}

$\frac{x}{2}$ gleich

2 π

$2 π$ .

\frac{x}{2} = 2 π

$\frac{x}{2} = 2 π$

Schritt 5

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

2

$2$ .

2 \frac{x}{2} = 2 (2 π)

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

2 \frac{x}{2} = 2 (2 π)

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π)$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

x = 2 (2 π)

$x = 2 (2 π)$

x = 2 (2 π)

$x = 2 (2 π)$

x = 2 (2 π)

$x = 2 (2 π)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = 4 π

$x = 4 π$

x = 4 π

$x = 4 π$

x = 4 π

$x = 4 π$

x = 4 π

$x = 4 π$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für

y = - \csc (\frac{x}{2})

$y = - \csc (\frac{x}{2})$ tritt auf bei

(0, 4 π)

$(0, 4 π)$ , wobei

0

$0$ und

4 π

$4 π$ vertikale Asymptoten sind.

(0, 4 π)

$(0, 4 π)$

Schritt 7

Ermittle die Periode

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 7.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr

0.5

$0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

\frac{2 π}{\frac{1}{2}}

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

2 π \cdot 2

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.3

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

4 π

$4 π$

4 π

$4 π$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für

y = - \csc (\frac{x}{2})

$y = - \csc (\frac{x}{2})$ treten auf bei

0

$0$ ,

4 π

$4 π$ und jedem

2 π n

$2 π n$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

x = 2 π n

$x = 2 π n$

Schritt 9

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten:

x = 2 π n

$x = 2 π n$ , wobei

n

$n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10