Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$

Schritt 1

Setze $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ gleich $0$ .

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Schritt 2.1.3

Setze $- 0.\overline{714285}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{714285}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $- 0.\overline{714285}$ in das Polynom ein.

$7 {(- 0.\overline{714285})}^{3} + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{714285}$ mit $3$ .

$7 \cdot - 0.36443148 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 0.36443148$ .

$- 2.5510204 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Schritt 2.1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{714285}$ mit $2$ .

$- 2.5510204 + 12 \cdot 0.51020408 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $12$ mit $0.51020408$ .

$- 2.5510204 + 6.12244897 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Schritt 2.1.3.6

Addiere $- 2.5510204$ und $6.12244897$ .

$3.\overline{571428} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.\overline{714285}$ .

$3.\overline{571428} + 1.\overline{428571} - 5$

Schritt 2.1.3.8

Addiere $3.\overline{571428}$ und $1.\overline{428571}$ .

$5 - 5$

Schritt 2.1.3.9

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $- 0.\overline{714285}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $7 x + 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5}{7 x + 5}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ durch $7 x + 5$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$7 x$

$5$

$7 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x$

$5$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{2} + 5 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							-	$7 x$	-	$5$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x - 5$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x - 1$

Schritt 2.1.6

Schreibe $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ als eine Menge von Faktoren.

$(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x + 5 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $7 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $7 x + 5$ gleich $0$ .

$7 x + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $7 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 5$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 5$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 5$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{7}$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.4.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.4.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.4.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.4.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = - \frac{5}{7}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{5}{7}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3