Elementarmathematik Beispiele

$5 \tan (x) = 5 \sqrt{3}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (x) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(5 \sqrt{3})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{3}$ an.

Hypothenuse $= \sqrt{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{25 {\sqrt{3}}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Hypothenuse $= \sqrt{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypothenuse $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Hypothenuse $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

Hypothenuse $= \sqrt{25 \cdot 3 + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.5

Berechne den Exponenten.

Hypothenuse $= \sqrt{25 \cdot 3 + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

Hypothenuse $= \sqrt{75 + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Hypothenuse $= \sqrt{75 + 1}$

Schritt 4.6

Addiere $75$ und $1$ .

Hypothenuse $= \sqrt{76}$

Schritt 4.7

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

Hypothenuse $= \sqrt{4 (19)}$

Schritt 4.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Schritt 4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Hypothenuse $= 2 \sqrt{19}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Schritt 5.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 5.3.2.2

Bewege $\sqrt{19}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Schritt 5.3.2.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Schritt 5.3.2.4

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Schritt 5.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{2}}$

Schritt 5.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 5.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Schritt 5.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{19 \cdot 3}}{2 \cdot 19}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $19$ mit $3$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{2 \cdot 19}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $19$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{38}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \sqrt{19}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.2.2

Bewege $\sqrt{19}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Schritt 6.3.2.4

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Schritt 6.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 6.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Schritt 6.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $19$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{38}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{1}{5 \sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 7.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 7.3.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 7.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Schritt 7.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $2 \sqrt{19}$ durch $1$ .

$\sec (x) = 2 \sqrt{19}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 9.3.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 19}}{5 \cdot 3}$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $19$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{5 \cdot 3}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{15}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{38}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{38}$

$\tan (x) = 5 \sqrt{3}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

$\sec (x) = 2 \sqrt{19}$

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{15}$