Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Schritt 1

Setze $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ gleich $0$ .

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{3} - 28 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{3}$ heraus.

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $7 x$ aus $- 28 x$ heraus.

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ heraus.

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 2.1.7.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 u$ heraus.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Schritt 2.1.7.1.2

Schreibe $- 10$ um als $2$ plus $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

Schritt 2.1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Schritt 2.1.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Schritt 2.1.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $7 x (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.1.11.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.13.1

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 2.1.13.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

Schritt 2.1.13.2.2

Schreibe $7$ um als $1$ plus $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

Schritt 2.1.13.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

Schritt 2.1.13.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

Schritt 2.1.13.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.13.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

Schritt 2.1.13.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.13.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.15.1

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.15.2

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = - 2$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 2$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 2$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3