Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (2 x) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Gegenkathete $= \sqrt{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{2 - 1}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{1}$

Schritt 4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

Gegenkathete $= 1$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (2 x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (2 x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (2 x)$ zu ermitteln.

$\tan (2 x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (2 x) = \frac{1}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\tan (2 x) = 1$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (2 x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (2 x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (2 x) = \frac{1}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\cot (2 x) = 1$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (2 x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (2 x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sec (2 x) = \sqrt{2}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (2 x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (2 x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Schritt 10.3

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\csc (2 x) = \sqrt{2}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (2 x) = 1$

$\cot (2 x) = 1$

$\sec (2 x) = \sqrt{2}$

$\csc (2 x) = \sqrt{2}$