Elementarmathematik Beispiele

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 (1 - \cos (- θ))$ .

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Schritt 1.1.1

Da $\cos (- θ)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- θ)$ als $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

Schritt 1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

Schritt 2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

Schritt 2.2

Addiere $3 \cos (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Schritt 3

Ersetze die $2 \sin^{2} (θ)$ durch $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

Schritt 6

Stelle das Polynom um.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 7

Ersetze $\cos (θ)$ durch $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 u$ heraus.

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

Schritt 8.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ heraus.

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ heraus.

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 8.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 u$ heraus.

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Schritt 8.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $- 1$ plus $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Schritt 8.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Schritt 8.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Schritt 8.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 11

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Schritt 13

Ersetze $u$ durch $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

Schritt 14

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

Schritt 15

Löse in $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 15.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 15.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 15.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 15.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 15.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 15.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 15.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Schritt 15.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Löse in $\cos (θ) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 16.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 16.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - 0$

Schritt 16.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 16.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 16.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 16.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 17

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 18

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$