Elementarmathematik Beispiele

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

Schritt 1

Subtrahiere $8 e^{- x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

Schritt 2

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 1, u, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ mit $u$ .

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Schritt 5.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Schritt 5.3.3

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 5.3.4

Setze $u + 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Setze $u + 4$ gleich $0$ .

$u + 4 = 0$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 4$

Schritt 5.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 2) (u + 4) = 0$ wahr machen.

$u = 2, - 4$

Schritt 6

Setze $2$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$2 = e^{x}$

Schritt 7

Löse $2 = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 2$ um.

$e^{x} = 2$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 8

Setze $- 4$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- 4 = e^{x}$

Schritt 9

Löse $- 4 = e^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - 4$ um.

$e^{x} = - 4$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

Schritt 9.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 4)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 9.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 4$

Keine Lösung

Schritt 10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (2)$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (2)$

Dezimalform:

$x = 0.69314718 \dots$