Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Schritt 3

Setze $1.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $1.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {1.5}^{3} + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Schritt 3.2

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$2 \cdot 3.375 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.375$ .

$6.75 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Schritt 3.4

Potenziere $1.5$ mit $2$ .

$6.75 + 2.25 + 4 \cdot 1.5 - 15$

Schritt 3.5

Addiere $6.75$ und $2.25$ .

$9 + 4 \cdot 1.5 - 15$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1.5$ .

$9 + 6 - 15$

Schritt 3.7

Addiere $9$ und $6$ .

$15 - 15$

Schritt 3.8

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$0$

Schritt 4

Da $1.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15}{2 x - 3}$

Schritt 5

Dividiere $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ durch $2 x - 3$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$15$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							+	$10 x$	-	$15$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x - 15$

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 6

Schreibe $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 3) (x^{2} + 2 x + 5)$