Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$

Schritt 1

Faktorisiere $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 7, \pm 3.5$

Schritt 1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$2 \cdot 1 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$2 - 11 \cdot 1 + 16 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$2 - 11 + 16 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $11$ von $2$ .

$- 9 + 16 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$- 9 + 16 - 7$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 9$ und $16$ .

$7 - 7$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7}{x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x$

$7$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x^{2} + 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							+	$7 x$	-	$7$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x - 7$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 9 x + 7$

Schritt 1.6

Schreibe $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 x + 7)$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 (x) + 7)$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 2$ plus $- 7$

$(x - 1) (2 x^{2} + (- 2 - 7) x + 7)$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (2 x^{2} - 2 x - 7 x + 7)$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((2 x^{2} - 2 x) - 7 x + 7)$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (2 x (x - 1) - 7 (x - 1))$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (2 x - 7))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 1) (2 x - 7)$

Schritt 3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 3.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (2 x - 7)$

Schritt 3.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (2 x - 7)$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 1)}^{1 + 1} (2 x - 7)$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} (2 x - 7)$