Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 10 x^{3} - 20 x^{2} - 90 x + 99$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$10 x^{3} - 90 x + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 2

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3} - 90 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$10 x (x^{2}) - 90 x + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $- 90 x$ heraus.

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 9) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 2.3

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x (x^{2}) + 10 x (- 9)$ heraus.

$10 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$10 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$10 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$10 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 99$

Schritt 6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$10 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 20 u + 99$

Schritt 7

Faktorisiere $u^{2} - 20 u + 99$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $99$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 11, - 9$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$10 x (x + 3) (x - 3) + (u - 11) (u - 9)$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $10 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $10 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x^{2} - 11) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (10 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 11)$

Schritt 11.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (10 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 11)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (10 x + x^{2} - 11)$

Schritt 12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (10 u + u^{2} - 11)$

Schritt 13

Faktorisiere $10 u + u^{2} - 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 11$ und deren Summe $10$ ist.

$- 1, 11$

Schritt 13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 11))$

Schritt 14

Faktorisiere.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 11))$

Schritt 14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 11)$