Elementarmathematik Beispiele

$x^{9} - 64 y^{12}$

Schritt 1

Schreibe $x^{9}$ als ${(x^{3})}^{3}$ um.

${(x^{3})}^{3} - 64 y^{12}$

Schritt 2

Schreibe $64 y^{12}$ als ${(4 y^{4})}^{3}$ um.

${(x^{3})}^{3} - {(4 y^{4})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{3}$ und $b = 4 y^{4}$ .

$(x^{3} - (4 y^{4})) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} (4 y^{4}) + {(4 y^{4})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x^{3} - 4 y^{4}) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} (4 y^{4}) + {(4 y^{4})}^{2})$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{3 \cdot 2} + x^{3} (4 y^{4}) + {(4 y^{4})}^{2})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{6} + x^{3} (4 y^{4}) + {(4 y^{4})}^{2})$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{6} + 4 x^{3} y^{4} + {(4 y^{4})}^{2})$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $4 y^{4}$ an.

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{6} + 4 x^{3} y^{4} + 4^{2} {(y^{4})}^{2})$

Schritt 4.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{6} + 4 x^{3} y^{4} + 16 {(y^{4})}^{2})$

Schritt 4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{6} + 4 x^{3} y^{4} + 16 y^{4 \cdot 2})$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(x^{3} - 4 y^{4}) (x^{6} + 4 x^{3} y^{4} + 16 y^{8})$