Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - 25 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 25 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

Schritt 6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ und deren Summe gleich $b = - 79$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 79$ aus $- 79 u$ heraus.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

Schritt 7.1.2

Schreibe $- 79$ um als $- 4$ plus $- 75$

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 4$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

Schritt 9

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Schritt 11

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $x^{3} (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

Schritt 11.3

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 12.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 12.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 12.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 12.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Schritt 12.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Schritt 12.1.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Schritt 12.1.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 - 4$

Schritt 12.1.1.3.5

Addiere $1$ und $3$ .

$4 - 4$

Schritt 12.1.1.3.6

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 12.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

Schritt 12.1.1.5

Dividiere $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ durch $x - 1$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 12.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Schritt 12.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 12.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 12.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 12.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 12.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 12.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 12.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 12.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Schritt 12.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 12.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 12.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 12.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 4$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Schritt 12.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Schritt 12.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 12.1.1.6

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

Schritt 12.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 12.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

Schritt 12.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 12.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Schritt 12.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$