Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 5 x^{3} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Schritt 2

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 5 x^{3} - 20 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$- 5 x (x^{2}) - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 20 x$ heraus.

$- 5 x (x^{2}) - 5 x (4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 5 x (x^{2}) - 5 x (4)$ heraus.

$- 5 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 16$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 4^{2}$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(u + 4)}^{2}$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 5 x (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + {(x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2}$ heraus.

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (- 5 x + x^{2} + 4)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 u + u^{2} + 4)$

Schritt 9

Faktorisiere $- 5 u + u^{2} + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 4) ((u - 4) (u - 1))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 4) (x - 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1)$