Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x^{2} - 6 x}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x \cdot x - 6 x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 6$ heraus.

$\frac{2}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x (x - 6)}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{x^{2} - 36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x (x - 6)}{x (x - 6)}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x (x - 6)}{x (x - 6)} - \frac{1}{x (x - 6)}$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{x (x - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x (x - 6)}{x (x - 6)} - \frac{1}{x (x - 6)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} - 36) x (x - 6)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} - 36}$ mit $\frac{x (x - 6)}{x (x - 6)}$ .

$\frac{2 (x (x - 6))}{(x^{2} - 36) (x (x - 6))} - \frac{1}{x (x - 6)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x (x - 6)}$ mit $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{2 (x (x - 6))}{(x^{2} - 36) (x (x - 6))} - \frac{x^{2} - 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 36) (x (x - 6))$ um.

$\frac{2 (x (x - 6))}{x (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{x^{2} - 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x (x - 6)) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{2 (x (x - 6)) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 6) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 6) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - (x^{2} - 36)}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2} - - 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2} + 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 36}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.9.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 12 x + 6^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Schritt 6.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Schritt 6.10

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) (x^{2} - 6^{2})}$

Schritt 6.11

Faktorisiere.

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Schritt 6.11.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Schritt 6.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x (x - 6) (x + 6) (x - 6)}$

Schritt 6.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.12.1

Potenziere $x - 6$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x ({(x - 6)}^{1} (x - 6)) (x + 6)}$

Schritt 6.12.2

Potenziere $x - 6$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1}) (x + 6)}$

Schritt 6.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{1 + 1} (x + 6)}$

Schritt 6.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Schritt 6.13

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{2} (x + 6)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{x {(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Schritt 6.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x + 6)}$