Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{2} (\frac{π}{8}) - \sin^{2} (\frac{π}{8})$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (\frac{π}{8})$ und $b = \sin (\frac{π}{8})$ .

$(\cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$(\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$(\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.1.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.2.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.4.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.4.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Schritt 2.5.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Schritt 2.5.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 2.5.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 2.5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 2.5.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.5.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Schritt 2.5.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Schritt 2.5.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Schritt 2.5.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$