Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Schritt 1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - 10 {(- 2)}^{2} + 12 \cdot - 2 + 72$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 10 {(- 2)}^{2} + 12 \cdot - 2 + 72$

Schritt 1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 10 \cdot 4 + 12 \cdot - 2 + 72$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$- 8 - 40 + 12 \cdot - 2 + 72$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $40$ von $- 8$ .

$- 48 + 12 \cdot - 2 + 72$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$- 48 - 24 + 72$

Schritt 1.3.7

Subtrahiere $24$ von $- 48$ .

$- 72 + 72$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 72$ und $72$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72}{x + 2}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$ durch $x + 2$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$12 x$

$72$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$24 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{2} - 24 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $36 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$
							+	$36 x$	+	$72$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $36 x + 72$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$
							-	$36 x$	-	$72$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$36$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$12 x$	+	$72$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$36 x$	+	$72$
							-	$36 x$	-	$72$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 12 x + 36$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 72$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{2} - 12 x + 36)$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$(x + 2) (x^{2} - 12 x + 6^{2})$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2})$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 6$ .

$(x + 2) {(x - 6)}^{2}$