Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - x^{2} - 11 x + 15$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Schritt 3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 3^{2} - 11 \cdot 3 + 15$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 3^{2} - 11 \cdot 3 + 15$

Schritt 3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 11 \cdot 3 + 15$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$27 - 9 - 11 \cdot 3 + 15$

Schritt 3.5

Subtrahiere $9$ von $27$ .

$18 - 11 \cdot 3 + 15$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 11$ mit $3$ .

$18 - 33 + 15$

Schritt 3.7

Subtrahiere $33$ von $18$ .

$- 15 + 15$

Schritt 3.8

Addiere $- 15$ und $15$ .

$0$

Schritt 4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x + 15}{x - 3}$

Schritt 5

Dividiere $x^{3} - x^{2} - 11 x + 15$ durch $x - 3$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$11 x$

$15$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x + 15$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	-	$15$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 5$

Schritt 6

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 11 x + 15$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 5)$