Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 4

Multipliziere $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Schritt 5.3

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Schritt 6

Schreibe $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

Schritt 6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

Schritt 6.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

Schritt 6.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

Schritt 6.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x + 2$ aus $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $3 (x + 2)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Schritt 6.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Schritt 6.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Schritt 6.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Schritt 6.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

Schritt 6.9

Faktorisiere.

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.9.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 6.9.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 6.9.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.9.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Schritt 6.9.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Schritt 6.9.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Schritt 6.9.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 1 - 2 + 3$

Schritt 6.9.1.3.5

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- 3 + 3$

Schritt 6.9.1.3.6

Addiere $- 3$ und $3$ .

$0$

Schritt 6.9.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

Schritt 6.9.1.5

Dividiere $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ durch $x + 1$ .

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Schritt 6.9.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

Schritt 6.9.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

Schritt 6.9.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 6.9.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 6.9.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 6.9.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 6.9.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 6.9.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.9.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 6.9.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

Schritt 6.9.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Schritt 6.9.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Schritt 6.9.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Schritt 6.9.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x + 3$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Schritt 6.9.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

Schritt 6.9.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 3 x + 3$

Schritt 6.9.1.6

Schreibe $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

Schritt 6.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$