Elementarmathematik Beispiele

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc^{2} (x) = 1$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\csc (x) = 1$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\csc (x) = - 1$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\csc (x) = 1, - 1$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Schritt 6

Löse in $\csc (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $arccsc (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 6.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\csc (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $arccsc (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 7.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 7.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $(0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 10.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 10.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + π (0)$

Schritt 10.1.2

Vereinfache.

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 10.1.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 10.2

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 10.2.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + π (1)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Schritt 10.2.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Schritt 10.2.2.4.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 10.2.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$