Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Schritt 1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 5

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 8

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 9

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π]$ enthalten ist.

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Schritt 12.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$π + 2 π (0)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$π + 0 π$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$π + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $π$ und $0$ .

$π$

Schritt 12.3

Das Intervall $[0, 2 π]$ enthält $π$ .

$x = π$