Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + y^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ an.

$x^{2} + y^{2} = \frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$ als ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Schritt 4

Um als Funktion von $x$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $y$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $x$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (x) = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}, - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$