Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} + 3 y^{2} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} = 1 - 2 x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = 1 - 2 x^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = 1 - 2 x^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{1}{3} - \frac{2 x^{2}}{3}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} - \frac{2 x^{2}}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3} - \frac{2 x^{2}}{3}}$ .

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 - 2 x^{2}}{3}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - 2 x^{2}}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 - 2 x^{2}) \cdot 3}}{3}$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(1 - 2 x^{2}) \cdot 3}}{3}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$

Schritt 6

Um als Funktion von $x$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $y$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $x$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (x) = \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (1 - 2 x^{2})}}{3}$