Elementarmathematik Beispiele

$10 x^{2} - 4 x y + 6 y^{2} - 8 x + 8 y = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 6$ , $b = - 4 x + 8$ und $c = 10 x^{2} - 8 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 4 x + 8) \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5

Es sei $u = 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ . Ersetze $u$ für alle $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ .

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Schritt 3.1.5.1

Schreibe ${(- 4 x + 8)}^{2}$ als $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{(- 4 x + 8) (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.2

Multipliziere $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x + 8) + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.5.3.2

Subtrahiere $32 x$ von $- 32 x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.7

Ersetze alle $u$ durch $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 (10 x^{2}) + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} - 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2}) - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.1.5

Mutltipliziere $60$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.1.6

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.2

Subtrahiere $60 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} - 16 x + 16 + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.8.3

Addiere $- 16 x$ und $48 x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.9

Faktorisiere $8$ aus $- 56 x^{2} + 32 x + 16$ heraus.

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Schritt 3.1.9.1

Faktorisiere $8$ aus $- 56 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.9.2

Faktorisiere $8$ aus $32 x$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.9.3

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.9.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.9.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.11

Schreibe $32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))$ um.

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Schritt 3.1.11.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 (2) (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.11.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.11.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.11.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5

Es sei $u = 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ . Ersetze $u$ für alle $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ .

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe ${(- 4 x + 8)}^{2}$ als $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{(- 4 x + 8) (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x + 8) + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.5.3.2

Subtrahiere $32 x$ von $- 32 x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.7

Ersetze alle $u$ durch $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 (10 x^{2}) + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} - 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2}) - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.1.5

Mutltipliziere $60$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.1.6

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.2

Subtrahiere $60 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} - 16 x + 16 + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.8.3

Addiere $- 16 x$ und $48 x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $8$ aus $- 56 x^{2} + 32 x + 16$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $8$ aus $- 56 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $8$ aus $32 x$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.11

Schreibe $32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))$ um.

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Schritt 4.1.11.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 (2) (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.11.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.11.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.11.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{4 x - 8 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 8 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ und $12$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{4 (x) - 8 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$y = \frac{4 (x) + 4 \cdot - 2 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2) + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2) + 4 (\sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x - 2) + 4 (\sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

Schritt 4.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 (3)}$

Schritt 4.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 \cdot 3}$

Schritt 4.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5

Es sei $u = 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ . Ersetze $u$ für alle $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ .

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe ${(- 4 x + 8)}^{2}$ als $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{(- 4 x + 8) (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.2

Multipliziere $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x + 8) + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5.3.2

Subtrahiere $32 x$ von $- 32 x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - u)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.7

Ersetze alle $u$ durch $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 (10 x^{2}) + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} - 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2}) - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.1.5

Mutltipliziere $60$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.1.6

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.2

Subtrahiere $60 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} - 16 x + 16 + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.8.3

Addiere $- 16 x$ und $48 x$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.9

Faktorisiere $8$ aus $- 56 x^{2} + 32 x + 16$ heraus.

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Schritt 5.1.9.1

Faktorisiere $8$ aus $- 56 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.9.2

Faktorisiere $8$ aus $32 x$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 16)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.9.3

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.9.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.9.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2)$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.11

Schreibe $32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))$ um.

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Schritt 5.1.11.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 (2) (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.11.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.11.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.11.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 x - 8 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{4 x - 8 - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 8 - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ und $12$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{4 (x) - 8 - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$y = \frac{4 (x) + 4 (- 2) - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2) - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2) + 4 (- \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x - 2) + 4 (- \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

Schritt 5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{4 (x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 (3)}$

Schritt 5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

$y = \frac{x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$