Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25} - \frac{{(y - 25)}^{2}}{2.25} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{{(y - 25)}^{2}}{2.25} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 2

Vereinfache $- \frac{{(y - 25)}^{2}}{2.25}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{1 {(y - 25)}^{2}}{2.25} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25$ heraus.

$- \frac{1 {(y - 25)}^{2}}{2.25 (1)} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 2.3

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{2.25} \cdot \frac{{(y - 25)}^{2}}{1}) = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 2.4

Dividiere $1$ durch $2.25$ .

$- (0.\overline{4} \frac{{(y - 25)}^{2}}{1}) = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 2.5

Dividiere ${(y - 25)}^{2}$ durch $1$ .

$- (0.\overline{4} {(y - 25)}^{2}) = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $0.\overline{4}$ mit $- 1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 3

Vereinfache $1 - \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - \frac{1 {(x - 17.5)}^{2}}{2.25}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25$ heraus.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - \frac{1 {(x - 17.5)}^{2}}{2.25 (1)}$

Schritt 3.1.3

Separiere Brüche.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (\frac{1}{2.25} \cdot \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{1})$

Schritt 3.1.4

Dividiere $1$ durch $2.25$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} \frac{{(x - 17.5)}^{2}}{1})$

Schritt 3.1.5

Dividiere ${(x - 17.5)}^{2}$ durch $1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} {(x - 17.5)}^{2})$

Schritt 3.1.6

Schreibe ${(x - 17.5)}^{2}$ als $(x - 17.5) (x - 17.5)$ um.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} ((x - 17.5) (x - 17.5)))$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $(x - 17.5) (x - 17.5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x (x - 17.5) - 17.5 (x - 17.5)))$

Schritt 3.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x \cdot x + x \cdot - 17.5 - 17.5 (x - 17.5)))$

Schritt 3.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x \cdot x + x \cdot - 17.5 - 17.5 x - 17.5 \cdot - 17.5))$

Schritt 3.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} + x \cdot - 17.5 - 17.5 x - 17.5 \cdot - 17.5))$

Schritt 3.1.8.1.2

Bringe $- 17.5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} - 17.5 \cdot x - 17.5 x - 17.5 \cdot - 17.5))$

Schritt 3.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 17.5$ mit $- 17.5$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} - 17.5 x - 17.5 x + 306.25))$

Schritt 3.1.8.2

Subtrahiere $17.5 x$ von $- 17.5 x$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} (x^{2} - 35 x + 306.25))$

Schritt 3.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2} + 0.\overline{4} (- 35 x) + 0.\overline{4} \cdot 306.25)$

Schritt 3.1.10

Vereinfache.

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Schritt 3.1.10.1

Mutltipliziere $- 35$ mit $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2} - 15.\overline{5} x + 0.\overline{4} \cdot 306.25)$

Schritt 3.1.10.2

Mutltipliziere $0.\overline{4}$ mit $306.25$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2} - 15.\overline{5} x + 136.\overline{1})$

Schritt 3.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - (0.\overline{4} x^{2}) - (- 15.\overline{5} x) - 1 \cdot 136.\overline{1}$

Schritt 3.1.12

Vereinfache.

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Schritt 3.1.12.1

Mutltipliziere $0.\overline{4}$ mit $- 1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - 0.\overline{4} x^{2} - (- 15.\overline{5} x) - 1 \cdot 136.\overline{1}$

Schritt 3.1.12.2

Mutltipliziere $- 15.\overline{5}$ mit $- 1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 1 \cdot 136.\overline{1}$

Schritt 3.1.12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $136.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = 1 - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 136.\overline{1}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $136.\overline{1}$ von $1$ .

$- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 135.\overline{1}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 135.\overline{1}$ durch $- 0.\overline{4}$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2} = - 0.\overline{4} x^{2} + 15.\overline{5} x - 135.\overline{1}$ durch $- 0.\overline{4}$ .

$\frac{- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2}}{- 0.\overline{4}} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.\overline{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.\overline{4} {(y - 25)}^{2}}{- 0.\overline{4}} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${(y - 25)}^{2}$ durch $1$ .

${(y - 25)}^{2} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.\overline{4}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 25)}^{2} = \frac{- 0.\overline{4} x^{2}}{- 0.\overline{4}} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} + \frac{15.\overline{5} x}{- 0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - \frac{15.\overline{5} x}{0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $15.\overline{5}$ aus $15.\overline{5} x$ heraus.

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - \frac{15.\overline{5} (x)}{0.\overline{4}} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.4

Faktorisiere $0.\overline{4}$ aus $0.\overline{4}$ heraus.

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - \frac{15.\overline{5} (x)}{0.\overline{4} (1)} + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.5

Separiere Brüche.

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - (\frac{15.\overline{5}}{0.\overline{4}} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.6

Dividiere $15.\overline{5}$ durch $0.\overline{4}$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - (35 \frac{x}{1}) + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.7

Dividiere $x$ durch $1$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - (35 x) + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.8

Mutltipliziere $35$ mit $- 1$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - 35 x + \frac{- 135.\overline{1}}{- 0.\overline{4}}$

Schritt 4.3.1.9

Dividiere $- 135.\overline{1}$ durch $- 0.\overline{4}$ .

${(y - 25)}^{2} = x^{2} - 35 x + 304$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 25 = \pm \sqrt{x^{2} - 35 x + 304}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} - 35 x + 304$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $304$ und deren Summe $- 35$ ist.

$- 19, - 16$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y - 25 = \pm \sqrt{(x - 19) (x - 16)}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 25 = \sqrt{(x - 19) (x - 16)}$

Schritt 7.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 25 = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)}$

Schritt 7.4

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

$y = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

$y = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

$y = - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$

Schritt 8

Um als Funktion von $x$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $y$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $x$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (x) = \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25, - \sqrt{(x - 19) (x - 16)} + 25$