Elementarmathematik Beispiele

$7 - {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} = 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 - {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$4 - {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}} = - 4$

Schritt 3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache ${(- {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ an.

${(- 1)}^{\frac{3}{2}} {({(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ um.

$\sqrt{{(- 1)}^{3}} {({(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\sqrt{- 1} {({(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$i {({(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i {(4 - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$i {(4 - 2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i {(4 - 2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$i {(4 - 2 x)}^{1} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

$i (4 - 2 x) = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot 4 + i (- 2 x) = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.8.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$4 \cdot i + i (- 2 x) = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.1.8.2

Stelle die Faktoren in $4 i + i (- 2 x)$ um.

$4 i - 2 i x = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$4 i - 2 i x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 i x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 i$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 i x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 i$ durch $- 2 i$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 i x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 i$ durch $- 2 i$ .

$\frac{- 2 i x}{- 2 i} = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 i x}{- 2 i} = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{i x}{i} = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i x}{i} = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i}$ mit der Konjugierten von $- 2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$x = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kombinieren.

$x = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}} i}{- 2 i i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Stelle die Faktoren in ${(- 4)}^{\frac{3}{2}} i$ um.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1.2.3.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 (i i)} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 (i^{1} i)} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 (i^{1} i^{1})} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i^{1 + 1}} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i^{2}} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.2.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 \cdot - 1} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 2$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 i$ heraus.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 (2 i)}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 i$ heraus.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 (2 i)}{- 2 (i)}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 (2 i)}{- 2 i}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + 2$

Schritt 5.3.3.2

Stelle $\frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $2$ um.

$x = 2 + \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$4 i - 2 i x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $4 i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 i x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 i$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $- 2 i x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 i$ durch $- 2 i$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 i x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 i$ durch $- 2 i$ .

$\frac{- 2 i x}{- 2 i} = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 i x}{- 2 i} = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{i x}{i} = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i x}{i} = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i}$ mit der Konjugierten von $- 2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$x = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 5.6.3.1.2.1

Kombinieren.

$x = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}} i}{- 2 i i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.2

Stelle die Faktoren in $- {(- 4)}^{\frac{3}{2}} i$ um.

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i i} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.3.1.2.3.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 (i i)} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 (i^{1} i)} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 (i^{1} i^{1})} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i^{1 + 1}} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 i^{2}} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.2.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{- i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2 \cdot - 1} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 2} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 i}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 2$ .

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Schritt 5.6.3.1.5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 i$ heraus.

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 (2 i)}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.3.1.5.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 i$ heraus.

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 (2 i)}{- 2 (i)}$

Schritt 5.6.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 (2 i)}{- 2 i}$

Schritt 5.6.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.6.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.6.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.6.3.1.6.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} + 2$

Schritt 5.6.3.2

Stelle $- \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $2$ um.

$x = 2 - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 + \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}, 2 - \frac{i {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$