Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 27}{| x - 3 |}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 27}{| x - 3 |}$ nicht definiert ist.

$x = 3$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Da der Grenzwert nicht existiert, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 4

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 3^{3}}{| x - 3 |}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}{| x - 3 |}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})}{| x - 3 |}$

Schritt 4.1.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{| x - 3 |}$

Schritt 4.2

Da es keinen Rest aus der Polynomdivision gibt, gibt es auch keine schrägen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 5

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6