Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x = 0, x = 1$

Schritt 2

Da $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x - x^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{1} - x^{2}}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Schritt 6.1.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und $1 - x$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Schritt 6.1.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Schritt 6.1.2.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Schritt 6.1.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Schritt 6.1.2.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x^{2} + x + 1)}{x}$

Schritt 6.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 6.2

Multipliziere $- (x^{2} + x + 1)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Kehre das Vorzeichen von $x^{2} + x + 1$ um.

$\frac{- (x^{2} + x + 1)}{x}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - x - 1 \cdot 1}{x}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} - x - 1}{x}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 6.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 6.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	+	$0$

Schritt 6.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 0$

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$

Schritt 6.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$
							-	$1$

Schritt 6.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- x - 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 6.14

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$- x - 1 + \frac{x - 1}{- x^{2} + x}$

Schritt 6.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - x - 1$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - x - 1$

Schritt 8