Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$ nicht definiert ist.

$x = - 5$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x + 5}$

Schritt 6.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 6.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x + 5}$

Schritt 6.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 5)}^{2}$ und $x + 5$ .

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x + 5}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{(x + 5) \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{(x + 5) \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{1}$

Schritt 6.1.2.2.4

Dividiere $x + 5$ durch $1$ .

$x + 5$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x + 5$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x + 5$

Schritt 8