Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 \csc (2 π x - π)$

Schritt 1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (2 π x - π)$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (2 π x - π)$ auftreten.

$2 π x - π = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 π x = π$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = π$ durch $2 π$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = π$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{π}{2 π}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{π}{2 π}$

Schritt 2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{2 π}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{2 π}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2 π}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{2 π}$

Schritt 2.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $2 π x - π$ gleich $2 π$ .

$2 π x - π = 2 π$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 π x = 2 π + π$

Schritt 4.1.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$2 π x = 3 π$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = 3 π$ durch $2 π$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π x = 3 π$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{3 π}{2 π}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{3 π}{2 π}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{3 π}{2 π}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{3 π}{2 π}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 π}{2 π}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{2 π}$

Schritt 4.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = 4 \csc (2 π x - π)$ tritt auf bei $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ , wobei $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Schritt 6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 6.1

$2 π$ ist ungefähr $6.2831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{π}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{π}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (2 π x - π)$ treten auf bei $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ und jedem $x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$

Schritt 8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9