Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \tan (\frac{1}{2} \cdot (x + \frac{π}{6}))$

Schritt 1

Vereinfache $\tan (\frac{1}{2} \cdot (x + \frac{π}{6}))$ .

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \tan (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6})$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6})$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{2 \cdot 6})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$

Schritt 2

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ auftritt.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}$

Schritt 3.1.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Schritt 3.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 6 - π}{12}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 6 π - π}{12}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $- 6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 7 π}{12}$

Schritt 3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{2} = - \frac{7 π}{12}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{7 π}{12})$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{7 π}{12})$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{7 π}{12})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{7 π}{12})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 π}{12}$ in den Zähler.

$x = 2 \frac{- 7 π}{12}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{- 7 π}{2 (6)}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{- 7 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 7 π}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 π}{6}$

Schritt 4

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{12} = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{12}$

Schritt 5.1.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Schritt 5.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6 - π}{12}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.5.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 \cdot π - π}{12}$

Schritt 5.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ tritt auf bei $(- \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6})$ , wobei $- \frac{7 π}{6}$ und $\frac{5 π}{6}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6})$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 7.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ treten auf bei $- \frac{7 π}{6}$ , $\frac{5 π}{6}$ und aller $x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$

Schritt 9

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10