Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$ nicht definiert ist.

$x = 1$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 6 - x^{2}}{5 x - 5}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 x - 5}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 6 + x (- x)$ heraus.

$\frac{x (6 - x)}{5 x - 5}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5$ heraus.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) - 5}$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) + 5 (- 1)}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$\frac{x (6 - x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2

Multipliziere $x (6 - x)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.2

Stelle $x$ und $6$ um.

$\frac{6 \cdot x + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{6 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.4

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{6 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $x$ .

$\frac{6 x - 1 x \cdot x}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x - x^{1 + 1}}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 x - x^{2}}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.2.11

Stelle $6 x$ und $- x^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 (x - 1)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $5 (x - 1)$ aus.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x + 5 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x - 5}$

Schritt 5.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x$

$5$

$x^{2}$

$6 x$

$0$

Schritt 5.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				-	$\frac{x}{5}$
	$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$

Schritt 5.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$

Schritt 5.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Schritt 5.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Schritt 5.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	-	$5$

Schritt 5.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x - 5$

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$

Schritt 5.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$
							+	$5$

Schritt 5.14

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{x}{5} + 1 + \frac{5}{5 x - 5}$

Schritt 5.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{x}{5} + 1$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{x}{5} + 1$

Schritt 7