Elementarmathematik Beispiele

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ um.

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

Schritt 2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

Schritt 3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 4

Schreibe ${(x - h)}^{2}$ als $(x - h) (x - h)$ um.

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 5

Multipliziere $(x - h) (x - h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Bewege $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.2

Subtrahiere $h x$ von $- x h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Bewege $x$ .

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $h x$ von $- h x$ .

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Schritt 9

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

Schritt 10

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11

Setze die Werte $a = a + 4 k$ , $b = - 2 a h + 8$ und $c = a h^{2} - y - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5

Es sei $u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ . Ersetze $u$ für alle $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Schreibe ${(- 2 a h + 8)}^{2}$ als $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ um.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.2

Multipliziere $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.3.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.3.1.1.1

Bewege $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.2

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.3.1.2.1

Bewege $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.5.3.2

Subtrahiere $16 a h$ von $- 16 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2} h^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 32 a h$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.7

Ersetze alle $u$ durch $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.1.1

Multipliziere $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.1.2.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.1.2.1.1

Bewege $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.2.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.1.4.1

Multipliziere $- (- a y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.1.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.4.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.4.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.1.5

Entferne die Klammern.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.8.2.1

Subtrahiere $a^{2} h^{2}$ von $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.8.2.2

Addiere $- 8 a h + 16$ und $0$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.9

Schreibe $4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ als $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.9.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 12.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$