Elementarmathematik Beispiele

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{25 - x^{2}} = y$ um.

$\sqrt{25 - x^{2}} = y$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = y^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - x^{2}}$ als ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(25 - x^{2})}^{1} = y^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$25 - x^{2} = y^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = y^{2} - 25$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = y^{2} - 25$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = y^{2} - 25$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Dividiere $- 25$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - y^{2} + 25$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 25}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- y^{2} + 25}$ .

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 5^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Stelle $- y^{2}$ und $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$