Elementarmathematik Beispiele

$8 (9^{x}) - 3^{x} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $9^{x}$ als ${(3^{2})}^{x}$ um.

$8 \cdot {(3^{2})}^{x} - 3^{x} = 0$

Schritt 1.2

Schreibe ${(3^{2})}^{x}$ als ${(3^{x})}^{2}$ um.

$8 \cdot {(3^{x})}^{2} - 3^{x} = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = 3^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $3^{x}$ .

$8 u^{2} - u = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u$ aus $8 u^{2} - u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Faktorisiere $u$ aus $8 u^{2}$ heraus.

$u (8 u) - u = 0$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (8 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u (8 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (8 u - 1) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $3^{x}$ .

$3^{x} (8 \cdot 3^{x} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3^{x} = 0$

$8 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $3^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $3^{x}$ gleich $0$ .

$3^{x} = 0$

Schritt 3.2

Löse $3^{x} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.3

Es gibt keine Lösung für $3^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $8 \cdot 3^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $8 \cdot 3^{x} - 1$ gleich $0$ .

$8 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $8 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 \cdot 3^{x} = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 \cdot 3^{x} = 1$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cdot 3^{x} = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 \cdot 3^{x}}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 3^{x}}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $3^{x}$ durch $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (\frac{1}{8})$

Schritt 4.2.4

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (\frac{1}{8})$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (\frac{1}{8})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (\frac{1}{8})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{8})}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{8})}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{8})}{\ln (3)}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3^{x} (8 \cdot 3^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{8})}{\ln (3)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{1}{8})}{\ln (3)}$

Dezimalform:

$x = - 1.89278926 \dots$