Elementarmathematik Beispiele

${(y - 3)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 36$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{36} - \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 1$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Schritt 5.2

Vereinfache $2 \cdot (x - (1)) + 3$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = 2 \cdot (x - 1) + 3$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1 + 3$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = 2 x - 2 + 3$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$y = 2 x + 1$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 \cdot (x - (1)) + 3$

Schritt 6.2

Vereinfache $- 2 \cdot (x - (1)) + 3$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 2 \cdot (x - 1) + 3$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 1 + 3$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 x + 2 + 3$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$y = - 2 x + 5$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = 2 x + 1, y = - 2 x + 5$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = 2 x + 1$ und $y = - 2 x + 5$ .

Asymptoten: $y = 2 x + 1, y = - 2 x + 5$

Schritt 9